terça-feira, 18 de agosto de 2015

Folha de exercícios

Folha de exercícios para 3º ano               Ciep 456 marco Polo                                   Prof Carlos Namorato

01)Determine a parte real e imaginaria de cada complexo.

a) z = -6 + 0,5i                    b) z = -√3/2 – ½ i              c) z = 3 + √ 2               d) -∏ i

02) Determine x para que z = ( x-2) + (x+3)i seja:

a) real               b) imaginário puro

03) Determine x para que x² -9 + ( x² - 3x)i seja:

a) real              b) imaginário puro

04) Determine x para que  x + xi  seja:                      resp a) x=0 ou x=1  b) x=-1             
                                           x + i

a) real             b) imaginário puro

05) Determine x e y reais para que:

a) 2x –y + (x + y)i = 6 – 9i            b) 2x + ( x+y)i = 6i            c) (x+yi) (1 + 2i) = 8 + 6i                       d) (x-yi)² = -16


06) Sejam Z1 = -1 + 6i  e Z2 = 3 – 2i . Calcule:

a) Z1 + Z2    b) Z1 – Z2    c) Z1 . Z2    d) (Z1)²    e) (Z2)²    f) i ( Z2 – Z1)


07) Calcule:

a)  i 236  + i 549 + i 526  + i 855  =              resp (0)

b) ( ½ + ½ i ) 100                                  resp ( -2 -50 )

c) i 25 + i 18                                          resp (1 – i)
        i 22    

 d) 16i 5  + 5i 10 – (3i)³                         resp (-5 + 43i)

e)    1 + i 9                                                        
      -3 + i 27

08) Determine no conjunto dos nº complexo as raízes das equações:

a)  x² + 4x + 5 = 0                              resp (-2 ± i)

b) x² -4x + 13 = 0                               resp ( 2 ± 3i)

c) 2x² + 50 = 0                                   resp ( ± 5i)

d) x² -8x + 17 = 0                              resp ( 4 ± i)

e) 9x² - 36x + 37 = 0                        resp ( 6 ± i )
                                                                      3



09) Calcule os quocientes:

a)  5 – 2i
    3 + 4i

b) 3 + 5i =
     4 – 2i

c) -2 + 3i =
      3 + i

d) -2 -10i =
     -1 + i

e) 1 + i =
      -i



11) Determine Z , tal que ( )² + 2z = -1                         resp -1,  1 ± 2i

12) Determine Z, tal que  ( 1 + i) + z = 3 + 4i               resp 4 – 5i
13) Determine Z, tal que ( )² = - 2i                                resp 1 + i , -1 – i
14) Determine Z , tal que z.  + 2z - i = 0                  resp -6/5 – 3/5i
15) Determine Z, tal que  2z² - 7i .z -3 = 0                    resp 3i, ½ i   (Dica: temos uma eq. do 2º)
16) Determine Z, tal que  iz + 3(-1) -6 = 11i                resp 2-3i
17) Determine Z, tal que  z² - i .  = 0                 resp z=0 ou z=-i ou z =±√3/2 + ½ i      


Operações com complexos

Potencia de i 

Os números considerados complexos são escritos acompanhados de uma parte imaginária. No complexo z = a + bi, temos que a parte imaginária é representada por bi. Considerando i a unidade imaginária, vamos determinar alguns valores de in. Veja:


Qualquer número elevado a zero será sempre 1, então:
0 = 1

Qualquer número elevado a 1 será ele mesmo, então:
1 = i

Conforme a regra dos números complexos:
2 = – 1
3 = i2 * i = (–1) * i = –i
4 = i2 * i2 = (–1) * (– 1) = 1
5 = i4 * i = 1 * i = i
6 = i5 * i = i * i = i2 = –1
7 = i6 * i = (–1) * i = – i
8 = i4 * i4 = 1 * 1 = 1
i9 = i8 * i = 1 * i = i
i10 =(i2)5 = (–1)5 = –1











Números conjugados

Dois números complexos são chamados de conjugados quando são da forma              [Maple Math] [Maple Math] .
Note que a soma de dois complexos conjugados será igual a 2a e o produto, igual a [Maple Math] , ambos números reais. Além disso, se uma equação do segundo grau tem coeficientes reais, suas duas raizes serão ou ambas reais, podendo ser ou não repetidas, ou um par de números complexos conjugados.


Adição e subtração


(2+ 3i)(5 - i) = (2)(5) +(2)(-i) + (3i)(5) + (3i)(-i) = [Maple Math] =    13 + 13i

Divisão de complexos

O quociente de dois números complexos, escrito na forma de uma fração, pode ser obtido na forma padrão (a + bi) multiplicando-se o numerador e o denominador da fração pelo complexo conjugado do denominador. O exemplo a seguir ilustra este fato.

Escreva o número complexo [Maple Math] na forma padrão.

[Maple Math] [Maple Math] [Maple Math]

Assista um vídeo clicando aqui










.


Números complexos


Um pouco de históriaA construção dos números complexos passou por diversos obstáculos, que levaram em média 300 anos para serem vencidos, desenvolvendo, assim, teorias referentes a esse conjunto numérico.

Historicamente, os números complexos começaram a ser estudados graças à grande contribuição do matemático Girolamo Cardano (1501-1576). Esse matemático mostrou que mesmo tendo um termo negativo em uma raiz quadrada era possível obter uma solução para a equação do segundo grau:     x2 – 10x +40 = 0. Essa contribuição foi de grande importância, pois até então os matemáticos não acreditavam ser possível extrair a raiz quadrada de um número negativo. A partir dos estudos de Girolamo Cardano, outros matemáticos estudaram sobre esse impasse na matemática, obtendo uma formalização rigorosa com Friedrich Gauss (1777-1855).
O conjunto dos números complexos é o conjunto que possui maior cardinalidade, afinal ele contém todos os outros conjuntos. É necessário, pois, compreender os processos das operações (aritméticas, trigonométricas, algébricas) envolvendo elementos desse conjunto, assim como a representação geométrica dos números complexos.
Portanto, nessa seção serão abordados assuntos como: concepções básicas do número complexo, operações aritméticas com números complexos, operações trigonométricas com os números complexos, o Plano de Argand-Gauss, entre outros artigos que se relacionam com os números complexos – números de grande importância e aplicabilidade.

Por Gabriel Alessandro de Oliveira

quinta-feira, 18 de junho de 2015

Para resolver um sistema linear com 3 equações e 3 incógnitas

Calculadora on line acesse:


 http://www.profcardy.com/calculadoras/aplicativos.php?calc=21

segunda-feira, 8 de junho de 2015

Trabalho em sala B

Nome_________________________turma______trabalho de matemática em sala 
 Prof Carlos Namorato     B


01) Para qual valor de m o ponto P(5,m) dista 4 unidades do ponto Q (1,-2)?

   a) m =2                     b) m= -2              c) 1                        d) m = -1


02) Seja AC uma diagonal do quadrado ABCD. Se A = ( 6, -13) C(13,10), então a área do quadrado ABCD em unidades de area é.

a) 17                              b) √578                    c) 17 √2                    d) 289


03) Determine o centro da circunferência que passa pelo ponto A(1,2) e tangencia os eixos coordenados.

a) ( 5,5)                        b) (3,3)                      c) (-5,5)                    d) (3,-3)


04) Determine um ponto P que pertence ao eixo das abscissas e dista √10 unidades de A (-2,1)

a) (5,0)                        b) (0,5)                       c) (-5,0)                     d) ( √5,0)


05) Sendo o triangulo A(1,3) B(1,-2) C(5,0) podemos então dizer que seu perímetro vale:

a) 10 + 2√5                 b) 5+ 2√5                          c)  2√5                     d) 2 + 2√5


06) O triangulo com vértice nos pontos A(-2,0)  B(2,0)  C(0,2√3)  e classificado quanto ao lado de:

a) retângulo               b) isósceles                  c) escaleno                  d) equilátero


07) A distancia entre os pontos A(2,1) e B (x,3) é √8  determine o valor x

a) 0                            b) 1                              c) 2                               d) 3


08) A distancia entre os pontos A(-1/2, 1) B(5,-1) é.

a) 137/2                       b) 137/√2                   c) √137                          d) √137/2


9) Determine a equação que seja satisfeita com coordenadas de qualquer ponto P(x,y) cuja a distancia ao ponto A(-2,-2) é sempre igual a 6.

a) x² + y² +4x +4y + 36 = 0    b) x² + y² + 4x + 4y -28 = 0    c) x² + y² -4x – 4y -28 = 0                                                             d) x² + y² -4x -4y + 36=0





1b, 2d, 3 a, 4c, 5 a, 6d ,7 a, 8d , 9 b 

Trabalho em sala A

Nome_________________________turma______trabalho de matemática em sala
Prof Carlos Namorato     A

01) A distancia entre os pontos A(2,1) e B(x,3) é √8, determine o valor de x

a) 1                             b) 2                                c) 3                              d)4

02) Sendo os pontos A(3,1) B(-2,2) C(4,-4) vértice de um triangulo. Então a classificação quanto aos lados é?

a) eqüilátero                 b) isósceles                   c) retângulo                d) escaleno     

03) Determine o ponto Q(0,a) eqüidistante dos pontos A(2,0) B (2,4)

a) 2                           b) 3                                 c) 4                          d)5

04) Classifique o triangulo cujos seus vértices são os pontos A(-2,5)  B(4,-3) C(-2,-6) e calcule seu perímetro.

a) isósceles  21 + 3√5    b)  ) isósceles  21 +√5     c) escaleno 21 + 3√5  d) eqüilátero 21 + √5

05) Calcule o perímetro do Triangulo com vértice nos pontos A(3,0) B(0,4) C(0,0)

a) 41                           b) 10                                 c) 11                      d) 12

6)Determine o ponto que encontra-se na bissetriz do primeiro quadrante e é eqüidistante dos pontos A(1,6) e B (8,1)

a) (4,4)                            b) (5,5)                                  c) (6,6)                           d)(7,7)

7) Determine as coordenadas do ponto Q pertencente ao eixo das ordenadas, sabendo que Q é eqüidistante dos pontos A(-2,4) B(5,1)

a) (0,1)                       b) (0,-1)                            c) (0,2)                     d) (0, -2)

8)Para qual valor de m o ponto P(m,3) dista 2 unidades do ponto (2,1)

a)m=4                       b) m=3                                c) m=1                    d) m=2

09) Encontre uma equação que seja satisfeita com coordenadas de qualquer ponto P(x,y)cuja a distancia ao ponto A(4,6)  é sempre igual a 5.

a) x² + y² +12x + 8y + 27       b) x² +y² - 8x – 12y + 27    c) x² +y² +8x +12y + 27  
                                               d) x² + y² +8x +12y -27  




Gabarito  1 d,2b ,3 a, 4c, 5d, 6d,7b,8d,9b

terça-feira, 2 de junho de 2015

Turmas 2003 e 2004


Os exercícios abaixo de sistema linear refere-se aos alunos das turmas 2003 e 2004 - Ciep Marco Pólo 

01. (FMTM-MG) Três pacientes usam, em conjunto, 1830mg por mês de um certo medicamento em cápsulas. O paciente A usa cápsulas de 5mg, o paciente B, de 10mg, e o paciente C, de 12mg. O paciente A toma metade do número de cápsulas de B e os três tomam juntos 180 cápsulas por mês. Quantas cápsulas tomam cada paciente:


02. (UFRN) Três amigos, denominados X, Y e Z, utilizam o computador todas as noites. Em relação
ao tempo em horas em que cada um usa o computador, por noite, sabe-se que:
• o tempo de X mais o tempo de Z excede o tempo de Y em 2;
• o tempo de X mais o quádruplo do tempo de Z é igual a 3 mais o dobro do tempo de Y;
• o tempo de X mais 9 vezes o tempo de Z excede em 10 o tempo de Y.
A soma do número de horas de utilização do computador, pelos três amigos, em cada noite, é
igual a:


03. (Unifor-CE) Sejam X, Y e Z três artigos distintos que são vendidos em certa loja. Sabe-se que:
 X custa tanto quanto Y e Z juntos; o preço de Y é a diferença entre o dobro de X e 50 reais;
 o preço de Z é a diferença entre o triplo do de Y e 80 reais. Nessas condições, pela compra dos três artigos, sendo um único exemplar de cada tipo, deverão ser desembolsados:


04. (Unifesp 2007) Em uma lanchonete, o custo de 3 sanduíches, 7 refrigerantes e uma torta de maçã
é R$ 22,50. Com 4 sanduíches, 10 refrigerantes e uma torta de maçã, o custo vai para R$ 30,50. O
custo de um sanduíche, um refrigerante e uma torta de maçã, em reais, é

05) Uma empresa deve enlatar uma mistura de amendoim, castanha de caju e castanha do pará. Sabendo-se que o quilo do amendoim custa R$5,00, o quilo da castanha de caju, R$ 20,00 e o quilo da castanha do pará R$ 16,00. Cada lata deve conter meio quilo da mistura e o custo total dos ingredientes de cada lata deve ser R$ 5,75. Alem disso a quantidade de castanha de caju em cada lata deve ser igual a um terço da soma das outras duas. Determine a quantidade de gramas de cada ingrediente.


06) Roberto gosta de fazer caminhada em uma pista próximo a sua casa. Ao longo da pista existem uma lanchonete, um posto medico e uma banca de revista. Roberto constatou que da lanchonete a banca de revista passando pelo posto medico caminhou 1000 passos do posto medico a lanchonete passando pela banca de revistas caminhou 800 passos, e da banca de revistas ao posto medico passando pela lanchonete caminhou 700 passos . Considerando que o passo de Roberto tem 80 cm qual é o comprimento da pista?



-07) (Fuvest 2008) João entrou na lanchonete BOG e pediu 3 hambúrgueres, 1 suco de laranja e 2 cocadas, gastando R$ 21,50. Na mesa ao lado, algumas pessoas pediram 8 hambúrgueres, 3 sucos de laranja e 5 cocadas, gastando R$ 57,00. Sabendo-se que o preço de um hambúrguer, mais o de um suco de laranja, mais o de uma cocada totaliza R$ 10,00, calcule o preço de cada um desses itens.

08)Um feirante estava vendendo embalagens com 10 pêras, 5 maçãs e 10 laranjas por R$ 4,05. O seu concorrente da barraca ao lado vendia um pacote contendo 12 pêras, 3 maçãs e uma dúzia de laranjas por R$ 4,41 e em uma outra barraca vendia 4 pêras, 7 maçãs e 15 laranjas por R$ 3,25. Sabendo-se que o preço de cada espécie de fruta era o mesmo nas três barracas, qual o preço a se pagar por 8 pêras, 2 maçãs e 10 laranjas em qualquer uma dessa barracas?

09) Em um show de pagode os ingressos foram vendidos ao preço de R$ 10,00 para homens adultos (maiores de 18 anos), R$ 5,00 para mulheres adultas  (maiores de 18 anos) e R$ 3,00 para adolescentes ( entre 14 e 18 anos). Arrecadaram-se R$ 4.450,00 com a venda de 650 ingressos. Sabendo-se que somente 150 adolescentes estiveram no show e que o referido show teve um atraso de 2 horas para o inicio tendo assim terminado as 5hs da manhã, determine quantos homens e mulheres haviam no show.

10) Sejam X, Y e Z três artigos distintos que são vendidos em certa loja. Sabe-se que: X
custa tanto quanto Y e Z juntos; o preço de Y é a diferença entre o dobro de X e 50 reais; o preço
de Z é a diferença entre o triplo do de Y e 80 reais. Nessas condições, pela compra dos três artigos,
sendo um único exemplar de cada tipo, deverão ser desembolsados:

quarta-feira, 20 de maio de 2015

lista de exercícios



http://2.bp.blogspot.com/-I7tmPwpKDR0/VQ9U4ZVUecI/AAAAAAAAAiM/dwdCGkCRkpU/s1600/marco%2Bpolo.png




Exercícios:                                     3º Ano    ciep 456 Marco Polo           Prof Carlos Namorato

01)Determine a distancia entre os pontos:
a)    A(3,7)   B(1,4 )                             R √13             f)     L(5,7)   N(9,4)       R 5
b)   C(3,-1)  D (3,5)                             R  6                 g)    O(10,15)  P(22,10)  R 13 
c)    E(-2,-5) F( 0,0)                              R √29             h)   Q ( ½ , 3)   R ( -½, ½ )   R √29/2
d)   G(0,-2)  H (√5 , -2)                       R √5
e)    I(3,-3)   J(-3,3)                              R 6√2

02) A distancia entre o ponto A (a,1) ao ponto B (0,2) é igual a 3. Calcule o valor da abscissa a. R = √ 8

03) Um ponto P pertence aos eixos das abscissas e é equidistante dos pontos A(-1,2) e B(1,4). Quais são as coordenadas do ponto P?  R= (3,0)

04)A abscissa de um ponto P é -6, e sua distancia ao ponto Q (1,3) é √74. Determine a ordenada deste ponto. R =8 ou -2

05) Considere um ponto P(x,y) cuja a distancia ao ponto A (5,3) é sempre duas vezes a distancia entre P ao ponto B(-4,-2). Nessas condições escreva uma equação que deve ser satisfeita com as coordenadas do ponto P.
R= 3x² +3y²+ 42x +22y + 46= 0

06) Demonstre que um triangulo com vértice A(0,5) B (3,-2) e C (-3,-2) é isósceles e calcule seu perímetro. 
R= 2√58 + 6

07) Encontre uma equação que seja satisfeita com coordenadas de qualquer ponto P(x,y)cuja a distancia ao ponto A(2,3)  é sempre igual a 3. R= x² + y² -4x- 6y + 4 =0

08) Demonstre que os pontos A(6,-13), B (-2,2) C (13,10)e D (21,-5) são vértices consecutivos de um quadrado (sugestão: Verifique se os lados são congruentes, e verifique se a diagonal é igual a l√2)
R= lados 17 e diagonal= √578 isto é 17√2.

09) Determine o ponto no eixo das abscissas eqüidistante aos pontos P(-2,2) e Q (2,6). R (4,0)

10) A distancia entre os pontos A(cos a, sen a) e B (sen a , – cos a) é:  R √2

11) determine a distancia entre os pontos A(2m,m) B (3m,2m) R = m√2

12) Determine os valores de x para os quais a distancia entre os pontos A(x+2,-3) B(3,x-3) é 5.   R =4 ou -3

13)Calcule o perímetro do triangulo ABC sendo, A(1,1) B (2,2) e C (3,-1) R= (3+√5)√2

14)Qual o ponto da segunda bissetriz é eqüidistante de P(1,4) e Q (2,-5). R (-3/5 , 3/5)

15) Qual a condição para que P(x,y) seja eqüidistante de A(2,3) e B(5,-1)? R 6x – 8y = 13

16) Determine as coordenadas do centro C da circunferência que passa pelos pontos P(3,4) Q(-2,3) e R (1,-2)
(dica: a distancia entre os pontos e o centro da circunferência são iguais) R (13/14, 19/14)

17) Considere os pontos A(3,2) e B (8,6). Determine as coordenadas  do ponto P, pertencente ao eixo x de modo que o segmento PA e PB tenham o mesmo comprimento. R (87/10,0)

18) Seja AC uma diagonal do quadrado ABCD. Se A = (-2, 3) e C = (0, 5), a área de ABCD, em unidades de área, é: R =  4

19) A(3,-5), B(5,-3) e C(-1,3) são vértice de um paralelogramo ABCD. Determine o ponto de intersecção da diagonais e o quarto vértice. R = intersecção (1,1) 4º vértice (-3,1)

20)Sendo os pontos A(2,10) e B(8,-2), quais são as coordenadas dos pontos que dividem o segmento AB em quatro segmentos congruentes?  R=M (5,4) N(7/2,7) P(13/2,1)

21) A(-3,5) e B(1,7) são vértices consecutivos de um paralelogramo e E(1,1) é o ponto de intersecção de suas diagonais. Determine os outros vértices desse paralelogramo. C(5,-3) D(1,-5)



22) Podemos afirmar que o triangulo com vértices nos pontos A(1,2) B (4,2) C (4,6) e retângulo em B? R sim

23) Determine o valor de m sendo os pontos A(m, m+8) B (-14,8) e a distancia entre os pontos igual a 26 unidades.
 R -24 ou 10

24) Considere os pontos P (1,b) e M (b,2) com b>0. Determine o valor de b para a distância entre PM = √13.  R 4 ou -1

25) Em um triângulo ABC temos A(4,1) M (7,3) e N (5,5) onde M é ponto médio do lado AB, e N é o ponto médio do lado AC. Ache as coordenadas dos vértices B e C.  R B ( 10,5) C ( 6,9)

26) Determine o valor de m para que os pontos A(3,4) B(-1,8) e C(5,m) pertençam a uma mesma reta. R 2

27) Determine p de modo que exista um triangulo cujos vértices sejam A ( 3p +1, 4) B ( p – 2,1) C (4,5).   R p ≠ 6/11

28) Seja P(-1, a ) um ponto do segundo quadrante. O valor de a, para que a distancia do ponto Q (a ,-2) ao ponto P seja 5, é.     R 2

29) Os pontos A(0,8) B (3,1) C( 1,y) do plano são colineares. O valor de y é igual a:  R 17/3

30) No plano cartesiano, o triangulo de vértices A (1,-2) B(m,4) C ( 0,6) é retângulo em A. O valor de m é igual a: R 49

Equação da Reta

Os estudos em Geometria Analítica demonstram que uma reta possui representação geométrica no plano cartesiano e pode ser representada por uma equação. Euclides, em seus teoremas e postulados, fundamentalizava que uma reta passa por infinitos pontos e que por dois pontos passa somente uma única reta. Partindo desse princípio estabelecemos que em uma reta os pontos são colineares. Dada uma reta, podemos constituir sua equação geral partindo da definição de localização de dois pontos pertencentes à reta r: ponto A de coordenadas (x1,y1), ponto B de coordenadas (x2,y2) e um ponto Q (x,y)

Usaremos a seguinte matriz na definição da equação geral da reta:

Desenvolvendo o determinante da matriz encontramos a equação geral da reta:

x1y2 + xy1 + x2y – xy2 – x2y1 – x1y = 0
x(y1 – y2) + y(x2 – x1) + (x1y2 – x2y1) = 0


A equação geral da reta: ax + by + c = 0 


Assista um vídeo clicando aqui 

Ponto Médio

O segmento de reta possui inúmeros pontos alinhados, mas somente um deles irá dividir o segmento em duas partes iguais. A identificação e a determinação do ponto médio de um segmento de reta será demonstrado com base na ilustração a seguir.



Portanto, considerando M o ponto médio do segmento AB, temos a seguinte expressão matemática capaz de determinar a coordenada do ponto médio de qualquer segmento no plano cartesiano:



Assista um vídeo sobre  matéria clicando aqui