quarta-feira, 20 de maio de 2015

lista de exercícios



http://2.bp.blogspot.com/-I7tmPwpKDR0/VQ9U4ZVUecI/AAAAAAAAAiM/dwdCGkCRkpU/s1600/marco%2Bpolo.png




Exercícios:                                     3º Ano    ciep 456 Marco Polo           Prof Carlos Namorato

01)Determine a distancia entre os pontos:
a)    A(3,7)   B(1,4 )                             R √13             f)     L(5,7)   N(9,4)       R 5
b)   C(3,-1)  D (3,5)                             R  6                 g)    O(10,15)  P(22,10)  R 13 
c)    E(-2,-5) F( 0,0)                              R √29             h)   Q ( ½ , 3)   R ( -½, ½ )   R √29/2
d)   G(0,-2)  H (√5 , -2)                       R √5
e)    I(3,-3)   J(-3,3)                              R 6√2

02) A distancia entre o ponto A (a,1) ao ponto B (0,2) é igual a 3. Calcule o valor da abscissa a. R = √ 8

03) Um ponto P pertence aos eixos das abscissas e é equidistante dos pontos A(-1,2) e B(1,4). Quais são as coordenadas do ponto P?  R= (3,0)

04)A abscissa de um ponto P é -6, e sua distancia ao ponto Q (1,3) é √74. Determine a ordenada deste ponto. R =8 ou -2

05) Considere um ponto P(x,y) cuja a distancia ao ponto A (5,3) é sempre duas vezes a distancia entre P ao ponto B(-4,-2). Nessas condições escreva uma equação que deve ser satisfeita com as coordenadas do ponto P.
R= 3x² +3y²+ 42x +22y + 46= 0

06) Demonstre que um triangulo com vértice A(0,5) B (3,-2) e C (-3,-2) é isósceles e calcule seu perímetro. 
R= 2√58 + 6

07) Encontre uma equação que seja satisfeita com coordenadas de qualquer ponto P(x,y)cuja a distancia ao ponto A(2,3)  é sempre igual a 3. R= x² + y² -4x- 6y + 4 =0

08) Demonstre que os pontos A(6,-13), B (-2,2) C (13,10)e D (21,-5) são vértices consecutivos de um quadrado (sugestão: Verifique se os lados são congruentes, e verifique se a diagonal é igual a l√2)
R= lados 17 e diagonal= √578 isto é 17√2.

09) Determine o ponto no eixo das abscissas eqüidistante aos pontos P(-2,2) e Q (2,6). R (4,0)

10) A distancia entre os pontos A(cos a, sen a) e B (sen a , – cos a) é:  R √2

11) determine a distancia entre os pontos A(2m,m) B (3m,2m) R = m√2

12) Determine os valores de x para os quais a distancia entre os pontos A(x+2,-3) B(3,x-3) é 5.   R =4 ou -3

13)Calcule o perímetro do triangulo ABC sendo, A(1,1) B (2,2) e C (3,-1) R= (3+√5)√2

14)Qual o ponto da segunda bissetriz é eqüidistante de P(1,4) e Q (2,-5). R (-3/5 , 3/5)

15) Qual a condição para que P(x,y) seja eqüidistante de A(2,3) e B(5,-1)? R 6x – 8y = 13

16) Determine as coordenadas do centro C da circunferência que passa pelos pontos P(3,4) Q(-2,3) e R (1,-2)
(dica: a distancia entre os pontos e o centro da circunferência são iguais) R (13/14, 19/14)

17) Considere os pontos A(3,2) e B (8,6). Determine as coordenadas  do ponto P, pertencente ao eixo x de modo que o segmento PA e PB tenham o mesmo comprimento. R (87/10,0)

18) Seja AC uma diagonal do quadrado ABCD. Se A = (-2, 3) e C = (0, 5), a área de ABCD, em unidades de área, é: R =  4

19) A(3,-5), B(5,-3) e C(-1,3) são vértice de um paralelogramo ABCD. Determine o ponto de intersecção da diagonais e o quarto vértice. R = intersecção (1,1) 4º vértice (-3,1)

20)Sendo os pontos A(2,10) e B(8,-2), quais são as coordenadas dos pontos que dividem o segmento AB em quatro segmentos congruentes?  R=M (5,4) N(7/2,7) P(13/2,1)

21) A(-3,5) e B(1,7) são vértices consecutivos de um paralelogramo e E(1,1) é o ponto de intersecção de suas diagonais. Determine os outros vértices desse paralelogramo. C(5,-3) D(1,-5)



22) Podemos afirmar que o triangulo com vértices nos pontos A(1,2) B (4,2) C (4,6) e retângulo em B? R sim

23) Determine o valor de m sendo os pontos A(m, m+8) B (-14,8) e a distancia entre os pontos igual a 26 unidades.
 R -24 ou 10

24) Considere os pontos P (1,b) e M (b,2) com b>0. Determine o valor de b para a distância entre PM = √13.  R 4 ou -1

25) Em um triângulo ABC temos A(4,1) M (7,3) e N (5,5) onde M é ponto médio do lado AB, e N é o ponto médio do lado AC. Ache as coordenadas dos vértices B e C.  R B ( 10,5) C ( 6,9)

26) Determine o valor de m para que os pontos A(3,4) B(-1,8) e C(5,m) pertençam a uma mesma reta. R 2

27) Determine p de modo que exista um triangulo cujos vértices sejam A ( 3p +1, 4) B ( p – 2,1) C (4,5).   R p ≠ 6/11

28) Seja P(-1, a ) um ponto do segundo quadrante. O valor de a, para que a distancia do ponto Q (a ,-2) ao ponto P seja 5, é.     R 2

29) Os pontos A(0,8) B (3,1) C( 1,y) do plano são colineares. O valor de y é igual a:  R 17/3

30) No plano cartesiano, o triangulo de vértices A (1,-2) B(m,4) C ( 0,6) é retângulo em A. O valor de m é igual a: R 49

Equação da Reta

Os estudos em Geometria Analítica demonstram que uma reta possui representação geométrica no plano cartesiano e pode ser representada por uma equação. Euclides, em seus teoremas e postulados, fundamentalizava que uma reta passa por infinitos pontos e que por dois pontos passa somente uma única reta. Partindo desse princípio estabelecemos que em uma reta os pontos são colineares. Dada uma reta, podemos constituir sua equação geral partindo da definição de localização de dois pontos pertencentes à reta r: ponto A de coordenadas (x1,y1), ponto B de coordenadas (x2,y2) e um ponto Q (x,y)

Usaremos a seguinte matriz na definição da equação geral da reta:

Desenvolvendo o determinante da matriz encontramos a equação geral da reta:

x1y2 + xy1 + x2y – xy2 – x2y1 – x1y = 0
x(y1 – y2) + y(x2 – x1) + (x1y2 – x2y1) = 0


A equação geral da reta: ax + by + c = 0 


Assista um vídeo clicando aqui 

Ponto Médio

O segmento de reta possui inúmeros pontos alinhados, mas somente um deles irá dividir o segmento em duas partes iguais. A identificação e a determinação do ponto médio de um segmento de reta será demonstrado com base na ilustração a seguir.



Portanto, considerando M o ponto médio do segmento AB, temos a seguinte expressão matemática capaz de determinar a coordenada do ponto médio de qualquer segmento no plano cartesiano:



Assista um vídeo sobre  matéria clicando aqui

Distãncia entre dois pontos

A distância permeia todos os conceitos da geometria analítica, pois nesta área da matemática temos a relação de elementos geométricos com os algébricos, e o elemento básico da geometria é o ponto.

Um dos conceitos básicos que vimos na geometria é que a menor distância entre dois pontos é dada por uma reta, contudo, na geometria analítica esses pontos recebem coordenadas no plano cartesiano e por meio dessas coordenadas podemos encontrar o valor da distância entre dois pontos.

Sabe-se que os eixos coordenados do plano cartesiano são ortogonais, portanto, podemos construir um triângulo retângulo utilizando os pontos A e B, como mostra a figura a seguir.Triângulo retângulo AOB 
Note que o segmento AB é a hipotenusa do triângulo AOB, e a medida de AB corresponde à distância entre esses dois pontos. Por se tratar de um triângulo retângulo, podemos aplicar o teorema de Pitágoras, no qual teremos:
Note que basta fazer as diferenças das coordenadas de cada um dos pontos e elevar ao quadrado, contudo são coordenadas do eixo X com coordenadas do eixo X e de forma análoga para as coordenadas do eixo Y.

assista um vídeo sobre a matéria clicando aqui




 

 

terça-feira, 7 de abril de 2015

Lista de exercícios Analise combinatória

Relação de exercícios:

1) (FUVEST-2009) Um apreciador deseja adquirir, para sua adega, 10 garrafas de vinho de um lote constituído por 4 garrafas da Espanha, 5 garrafas da Itália e 6 garrafas da França, todas de diferentes marcas.
a) De quantas maneiras é possível escolher 10 garrafas desse lote?  R 3003
b) De quantas maneiras é possível escolher 10 garrafas do lote, sendo 2 garrafas da Espanha, 4 da Itália e 4 da França? R 450

2) (VUNESP-2009) Uma rede de supermercados fornece a seus clientes um cartão de crédito cuja identificação é formada por 3 letras distintas (dentre 26), seguidas de 4 algarismos distintos. Uma determinada cidade receberá os cartões que têm L como terceira letra, o último algarismo é zero e o penúltimo é 1. A quantidade total de cartões | distintos oferecidos por tal rede de supermercados para essa cidade é ? R) 33 600

3) (UEMG-2007) Uma secretária possui 6 camisas, 4 saias e 3 pares de sapatos. O número de maneiras distintas com que a secretária poderá se arrumar usando 1 camisa, 1 saia e 1 par de sapatos corresponde a? R 72

4) (Mack-2007) Em uma sala de aula há 25 alunos, quatro deles considerados gênios. O número de grupos, com três alunos, que pode ser formado, incluindo pelo menos um dos gênios, é: R) 970

5) Ao utilizar o caixa eletrônico de um banco, o usuário digita sua senha numérica em uma tela como mostra a figura. Os dez algarismos (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) são associados aleatoriamente a cinco botões, de modo que a cada botão correspondam dois algarismos, indicados em ordem crescente. O número de maneiras diferentes de apresentar os dez algarismos na tela é: R 10!/25


6) (Mack-2007) Com os professores A, B, C, D, E, F, G e H de uma escola, podemos formar, com a presença obrigatória de C, D e F, n comissões de 7 professores. O valor de n é: R) 5

7) (UNIFESP-2008) Suponha que Moacir esqueceu o número do telefone de seu amigo. Ele tem apenas duas fichas, suficientes para dois telefonemas.
a) Se Moacir só esqueceu os dois últimos dígitos, mas sabe que a soma desses dois dígitos é 15, encontre o número de possibilidades para os dois últimos dígitos. R 4
 b) Se Moacir só esqueceu o último dígito e decide escolher um dígito ao acaso, encontre a probabilidade de acertar o número do telefone, com as duas tentativas: R 1/5

8) (UNIFESP-2008) Quatro pessoas vão participar de um torneio em que os jogos são disputados entre duplas. O número de grupos com duas duplas, que podem ser formados com essas 4 pessoas, é : R) 3.

9) (UFSCar-2008) Considere o conjunto C = {2, 8, 18, 20, 53, 124, 157, 224, 286, 345, 419, 527}. O número de subconjuntos de três elementos de C que possuem a propriedade “soma dos três elementos é um número ímpar” é: R 115

10) (FATEC-2008) Para mostrar aos seus clientes alguns dos produtos que vende, um comerciante reservou um espaço em uma vitrine, para colocar exatamente 3 latas de refrigerante, lado a lado. Se ele vende 6 tipos diferentes de refrigerante, de quantas maneiras distintas pode expô-los na vitrine? R 120


11) (Mack-2006) Um hacker está tentando invadir um site do Governo e, para isso, utiliza um programa que consegue testar 163 diferentes senhas por minuto. A senha é composta por 5 caracteres escolhidos entre os algarismos de 0 a 9 e as letras de A a F. Sabendo que o programa testa cada senha uma única vez e que já testou, sem sucesso, 75% das senhas possíveis, o tempo decorrido desde o início de sua execução é de: R 3h 12 min

sexta-feira, 27 de março de 2015

Trabalho E

Nome__________________________nº___ turma____ trabalho de matemática em sala Prof. Namorato E

01) Diante do caixa eletrônico de um banco, Mariane não conseguia lembrar-se da sua senha de 6 digitos. Lembrava-se apenas, dos dois primeiros números(mês do seu aniversario) e dos dois últimos( sua idade atual). Supondo que levou cerca de um minuto em cada tentativa de completar a senha e que esgotou todas as alternativas distintas possíveis, somente acertando na ultima, Mariane retirou os reais desejados após cerca de:
a) 1h 40 minb) 1h 30 min c) 1h 21 min d) 45 min


02) Em um campeonato de futebol na Transilvânia existem 12 times na primeira divisão, inclusive faz parte deste campeonato o glorioso time do Jaboaense que após 10 anos voltou a elite do campeonato. Se todos os times jogam entre si somente uma vez, determine o numero de jogos deste campeonato.
a) 66 b) 479001600 c) 132 d) 84


03) De quantas formas diferentes o professor Namorato, que esse ano de 2014 e professor da melhor turma do terceiro ano do CIEP 456 marco Polo, isto é, a turma 3003, pode organizar em sua gaveta do armário de roupas cinco camisas idênticas do super, sensacional, maravilhoso time do fluminense.
a) 120 b) 25 c) 5 d) 1



04)Quantos anagramas tem a palavra PATO e PATA

a) 24 e 24 b) 24 e 20 c) 24 e 12 d) 12 e 24


05) Quantos anagramas tem a palavra CARRO que começam com vogal?

a) 24 b) 6 c) 12 d) 8


06) Numa prova muito difícil de matemática aplicada em 2010 pelo então conhecido professor TOP Alfredâncio da Silva com 5 questões as respostas podem ser F(falso) ou V(verdadeiro) quantas formas diferentes podem ser resolvida toda essa prova.
a) 120 b) 10 c) 32 d) 20


07) Quantos anagramas tem a palavra BRASIL, de modo que as letras R e A estejam sempre juntas nesta ordem?
a) 720 b) 120 c) 24 d) 6


08) Num país chamado Patetense do norte os carros possuem placas com 3 vogais seguidas de 4 números. Existe restrições somente para os números que deverão ser distintos. Determine então quantos carros podem possuir esse país.

a) 630000b) 1250000 c) 302400 d) 68040


9) Quantas saladas de frutas tipicamente brasileiras diferentes podemos formar com 5 frutas, se possuo 8 frutas distintas?

a) 56 saladas b) 120 saladas c) 40320saladas d) 40 saladas


10)Quantos são os anagramas possiveis com as letra ABCDEFGHI, começando pelas três letras do grupo ABC?

a) 720     b) 2160    c) 4320    d) 6720

gabarito

1b,2a,3b,4c,5a,6c,7b,8a,9a.10c.

Trabalho C

Nome__________________________nº___ turma____ trabalho de matemática em sala Prof Namorato C

01) Até 2002, os números de telefone da cidade do Rio Claro SP, eram constituídos de 7 dígitos, quando então passaram para 8. Sabendo que o primeiro digito nunca pode ser zero, quando os números de telefones passaram a ser formados por 8 dígitos, qual foi o aumento possível na quantidade de telefones?

a) 72 . 10 6 b) 100 . 10 6 c) 90 . 10 6 d) 81 .10 6


02) De quantas maneiras podemos arrumar 5 objetos idênticos?

a) 120 b) 5 c) 1 d) 0


03) Considere a palavra LOGICA em quantos anagramas as letras LOG estão juntas?

a) 6 b) 12 c) 24 d) 144


04) Num grupo de 20 pessoas há 6 mulheres. Quantas comissões de 4 pessoas podem ser formadas de modo que nelas haja pelo menos uma mulher?

a) 3844 b) 720 c) 1266 d) 24


05) Numa despedida de um grupo de amigos 36 abraços foram trocados. Sabendo que cada um abraçou todos os outros, quantos amigos estavam reunidos?

a) 8 b) 9 c) 11 d) 7


06) Uma sorveteria oferece 10 sabores de sorvete. Se uma pessoa vai tomar 3 bolas, do mesmo sabor ou não, quantas opções diferentes ela tem?

a) 3628800 b) 720 c) 1000 d) 3240


07) Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra BALADA?

a) 120 b) 360 c) 720 d) 60


08) Em uma seleção de futebol existem 8 jogadores de ataque, 6 de meio-campo,6 defensores e 3 goleiros. Quantos times diferentes podem ser formados utilizando 1 goleiro, 4 defensores, 3 meio campistas e 3 atacantes.

a) 30400 b) 40400 c) 50400 d) 60400


09) Quantos grupos de 2 pessoas podem ser montados com 1000 pessoas?

a) 999000 b) 499500 c) 3628800 d) 1000!


10) Quantos números distintos menores que 10000 podem ser formados com algarismos diferentes da coleção: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

a) 3628800 b) 5274 c) 26608 d) 4536



gabarito 1d, 2c, 3d, 4 a 5b, 6c, 7 a 8c, 9b, 10 d

trabalho B


Nome__________________________nº___ turma____ trabalho de matemática em sala Prof Namorato B

01) O número Pi com 10 algarismos (sem considerar a vírgula) é indicado por 3141592653. Quantas são as permutações diferentes que podemos construir com estes 10 algarismos.

a) 3628800 b) 453600 c) 2435700 d) 56700


02) Quantos são os anagramas possíveis com as letras da palavra: MATEMATICA?

a) 151200 b) 3628800 c) 453600 d) 567100


03) Quantos números com cinco algarismos podemos construir com os números ímpares 1,3,5,7,9, desde que estejam sempre juntos os algarismos 1 e 3.

a) 24 b) 36 c) 40 d) 48


04) Quantas são as maneiras diferentes que podemos organizar 4 objetos idênticos?

a) 24 b) 4 c) 0 d)1

05) Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que sempre comecem pela letra A?
a) 362880 b) 24 c) 84 d) 1000

06) Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que contêm 2 dentre as 3 letras A,B e C?
a) 24 b) 63 c) 6 d) 720

07) Quantas frações diferentes e não iguais a um podemos escrever usando os números 2,3,5,7,11 e 13?
a) 720 b) 18 c) 30 d) 64

08) Um estudante tem 5 lápis de cores diferentes. De quantas maneiras diferentes ele poderá pintar os estados da região sul do Brasil cada um de uma cor?
a) 120 b) 30 c) 60 d) 90

09) O conselho desportivo de uma escola é formado por 2 professores e 3 alunos. Candidataram-se 5 professores e 30 alunos. De quantas maneiras diferentes esse conselho pode ser eleito?
a) 10 b) 4060 c) 8120 d) 40600

10) De quantas maneiras podemos colocar 10 bolas em 3 urnas, de modo que fiquem 2 bolas na primeira urna, 3 bolas na segunda urna e 5 bolas na terceira?
a) 3628800 b) 2520 c) 12520 d) 45600


gabarito 1b, 2 a 3d,4d,5 c,6b,7c,8c,9d,10b

domingo, 22 de março de 2015

Lista exercícios Análise Combinatória

01)(UFF - 05) Niterói é uma excelente opção para quem gosta de fazer turismo ecológico. Segundo dados da prefeitura, a cidade possui oito pontos turísticos dessa natureza. Um certo hotel da região oferece de brinde a cada hóspede a possibilidade de escolher três dos oito pontos turísticos ecológicos para visitar durante sua estada. O número de modos diferentes com que um hóspede pode escolher, aleatoriamente, três destes locais, independentemente da ordem escolhida, é:

a)         8      b) 24    c) 56     d) 112   e) 336

02)Uma moça vai desfilar vestindo saia, blusa, bolsa e chapéu. O organizador do desfile afirma que três modelos de saia, três de blusa, cinco de bolsa e um certo número de chapéus permitem mais de duzentas possibilidades de diferentes escolhas deste traje. Assinale a alternativa que apresenta o número mínimo de chapéus que torna verdadeira a afirmação do organizador.
a) 189   b) 30    c) 11   d) 5     e) 4


03) (FUVEST - 05) Em uma certa comunidade, dois homens sempre se cumprimentam (na chegada) com um aperto de mão e se despedem (na saída) com outro aperto de mão. Um homem e uma mulher se cumprimentam com um aperto de mão, mas se despedem com um aceno. Duas mulheres só trocam acenos, tanto para se cumprimentarem quanto para se despedirem.

a) 16    b) 17     c) 18     d) 19   e) 20

04)Numa primeira fase de um campeonato de xadrez cada jogador joga uma vez contra todos os demais. Nessa fase foram realizados 78 jogos. Quantos eram os jogadores?
a) 10     b) 11      c) 12     d) 13      e) 14

05) (UERJ - 02) Numa cidade, os números telefônicos não podem começar por zero e têm oito algarismos, dos quais os quatro primeiros constituem o prefixo. Considere que os quatro últimos dígitos de todas as farmácias são 0000 e que o prefixo da farmácia VIVAVIDA é formado pelos dígitos 2, 4, 5 e 6, não repetidos e não necessariamente nesta ordem.
a) 6       b) 24       c) 64      d) 168      e) 256


06)  (UFMG - 05) A partir de um grupo de 8 pessoas, quer se formar uma comissão constituída de 4 integrantes. Nesse grupo, incluem-se Gustavo e Danilo que, sabe-se, não se relacionam um com o outro. Portanto, para evitar problemas, decidiu-se que esses dois, juntos, não deveriam participar da comissão a ser formada.
Nessas condições, de quantas maneiras distintas se pode formar esta comissão?

a) 70     b) 35     c) 45    d) 55      e) 105 

07)Um clube resolve fazer uma Semana de Cinema. Para isso, os organizadores escolhem sete filmes, que serão exibidos um por dia. Porém, ao elaborar a programação, eles decidem que três desses filmes, que são de ficção científica, devem ser exibidos em dias consecutivos. Nesse caso, o número de maneiras diferentes que se pode fazer a programação dessa semana é:

a) 144     b) 576    c)720      d)1040     e) 2080

08) (UNESP - 04) Um certo tipo de código usa apenas dois símbolos, o número zero (0) e o número um (1) e, considerando esses símbolos como letras, podem-se formar palavras. Por exemplo: 0, 01, 00, 001 e 110 são algumas palavras de uma, duas e três letras desse código. O número máximo de palavras, com cinco letras ou menos, que podem ser formadas com esse código é:
a) 120     b) 62    c) 60     d) 20    e) 10


09)As antigas placas para automóveis, com duas letras seguidas de quatro algarismos, foram substituídas por novas com três letras seguidas de quatro algarismos. Nestas placas, bem como nas antigas, são utilizadas as 23 letras do alfabeto português, mais as letras K, W, Y. Quantos carros a mais puderam ser emplacados com o novo sistema?
a) 17576.104       b)17576.105       c) 676. 105     d) 676.104       e) 169. 106

gabarito, 1c,2d,3b,4d,5b,6d,7c,8b,9e 

quinta-feira, 5 de março de 2015

Lista de exercícios

Lista de exercícios:

01) Considere os números obtidos do número 12345, efetuando todas as permutações de seus algarismos. Colocando esses números em ordem crescente, qual o lugar ocupado pelo número 43521? R 90°

02) De todos os números menores de 100 000 e maiores de 50 000, quantos são os que lidos da esquerda para direita ou da direita para esquerda fornecem o mesmo valor? (por exemplo 56 365 ) R 500

03) Considere todos os anagramas da palavra MORENA. Quantos deles tem vogais juntas? R 144

04) Num simpósio estão reunidos 10 mulheres e 32 homens. De quantos modos distintos podem ser formadas comissões de exatamente 4 pessoas, escolhidas entre os participantes desse simpósio, se cada comissão deve conter homens e mulheres em igual numero? R 22320

05) Numa Kombi viajam 9 pessoas, das quais 4 podem dirigir. De quantas maneiras diferentes e possível acomodá-las na Kombi ( 3 no banco da frente, 3no banco do meio e 3 no banco de trás), de forma que uma das 4 pessoas que dirigem ocupe o lugar na direção? R 161280

06) Quatro jogadores saíram de Manaus para um campeonato em Porto Alegre, num carro de 4 lugares. Dividiram o trajeto em 4 partes e aceitaram que cada um dirigiria uma vez. Combinaram também que toda vez que houvesse mudança de motorista, todos deveria trocar de lugar. O numero de arrumações possíveis dos 4 jogadores durante toda viagem é: R 24

07) . (Ufmg 94) Considere formados e dispostos em ordem crescente todos os números que se obtêm permutando os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9. O número 75391 ocupa, nessa disposição, o lugar R 88°

08) (Ufmg 95) Duas das cinqüenta cadeiras de uma sala serão ocupadas por dois alunos. O número de maneiras distintas possíveis que esses alunos terão para escolher duas das cinqüenta cadeiras, para ocupá-las, é R 2450

09) Com os dígitos 1,2,3,4,6,e 8 podem-se formar X números impares com três algarismos distintos cada um. Determine X. R 40

10) Durante a copa do mundo que foi disputada por 24 países as tampinhas de Coca-Cola traziam palpite sobre países que se classificariam nos três primeiros lugares. Se em cada tampinha, os três países são distintos quantas tampinhas diferentes poderiam existir? R 12144

11) Quantas motos podem ser licenciadas se cada placa tiver 2 vogais (podendo haver vogais repetidas) e 3 algarismos distintos?R18000

12) O número de múltiplos de 10 compreendidos entre 100 e 9999 e com todos os algarismos distintos é? R 576

13) Seis pessoas entre elas João e Pedro, vão ao cinema. Existem lugares vagos, alinhados e consecutivos. O numero de maneiras distintas de como os seis podem sentar-se sem que João e Pedro fiquem juntos é? R 480

14) Com as letras da palavra PROVA podem ser escritos X anagramas que começam por vogar e Y anagramas que começam e terminas com consoante. Os valores de X e Y são respectivamente. R 48 e 36

15) Calcule o numero de anagramas da palavra CLARA em que as letras AR apareçam juntas nesta ordem. R 24

16) Uma fechadura de segredo possui 4 contadores que podem assumir valores de 0 a 9 cada um, de tal sorte que ao girar os contadores esses números podem ser combinados para formar o segredo e abrir a fechadura. De quantos modos esses números podem ser combinados para se tentar encontrar o segredo? R 10000

17) Atualmente as placas são formadas por tres letras seguidas de quatro algarismos. Considerando estas informações, calcule o numero de placas distintas que podem ser fabricadas iniciadas pelas letras HUI nesta ordem e cujo o ultimo algarismo seja impar, R 5000




18)Uma pessoa vai retirar dinheiro num caixa eletrônico de um banco mas, na hora de digitar a senha, esquece-se do numero. Ela lembra que a senha tem 5 algarismos, começa com 6, não tem algarismo repetidos e tem o numero 7 em alguma posição. O numero máximo de tentativas para acertar a senha é? R 1344

19) De um acervo que contem três quadros de Anita Malfatti e oito de Di Cavalcanti, pretende-se formar exposições constituídas de um quadro de Anita Malfatti e três quadros de Di Cavalcanti. Quantas exposições diferentes são possíveis? R 168

20) De uma comissão formada por engenheiro e economista, deve se ter 5 elementos dos quais pelo menos 2 devem ser engenheiros. Se são disponíveis 4 engenheiros e 5 economistas o numero possível de comissões distintas é? R 105

21) Uma enfermidade que tem sete sintomas conhecidos é detectada pelo medico se o paciente apresentar quatro ou mais desses sintomas. Para que seja feito um diagnostico seguro o numero de combinações possíveis de sintomas diferentes é: R 64

22) A partir de um grupo de 10 pessoas devemos formar K comissões de pelo menos 2 membros, sendo que em todas deve aparecer uma determinada pessoa A do grupo. Então K vale? R 511

23) O DETRAN decidiu que as placas dos veículos do Brasil serão codificadas usando-se 3 letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que poderá ser licenciado?R 175.760.001

24) Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0,1,2,...,9. O segredo do cofre é marcado por uma sequência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer(no máximo) para conseguir abri-lo? R 720.

25) - Um coquetel é preparado com duas ou mais bebidas distintas. Se existem 7 bebidas distintas, quantos coquetéis diferentes podem ser preparados? Resp: 120

26) Sobre uma circunferência são marcados 9 pontos distintos. Quantos triângulos podem ser construídos com vértices nos 9 pontos marcados? Resp: 84

27) Uma família com 5 pessoas possui um automóvel de 5 lugares. Sabendo que somente 2 pessoas sabem dirigir, de quantos modos poderão se acomodar para uma viagem? Resp: 48
28) Oito pessoas irão acampar e levarão quatro barracas. Em cada barraca dormirão duas pessoas. Quantas são as opções de distribuição das pessoas nas barracas? R 2520

29) Do cardápio de uma festa constavam dez diferentes tipos de salgadinhos dos quais só quatro seriam servidos quentes. O garçom encarregado de arrumar a travessa e servi-la foi instruído para que a mesma contivesse sempre só 2 diferentes tipos de salgadinhos frios, e só 2 diferentes dos quentes. De quantos modos diferentes, teve o garçom a liberdade de selecionar os salgadinhos para compor a travessa, respeitando as instruções?R 90

30) (MACK) Os polígonos de k lados (k múltiplos de 3), que podemos obter com vértices nos 9 pontos da figura, são em número de: R 169

Combinação

Na combinação simples, a ordem dos elementos no agrupamento não interfere. São arranjos que se diferenciam somente pela natureza de seus elementos. Portanto, se temos um conjunto A formado por n elementos tomados p a p, qualquer subconjunto de A formado por p elementos será uma combinação, dada pela seguinte expressão:


Por exemplo, considere um grupo com seis elementos que serão formados dois a dois:


Problema:

Uma importante aplicação de combinação simples é nas loterias, megassena, quina entre outras. A megassena consiste em uma cartela de 60 números dentre os quais devemos acertar 6 (prêmio principal), portanto temos uma combinação onde n = 60 e p = 6, sessenta números tomados seis a seis.

Na megassena existem 50.063.860 combinações, caso sejam tomadas seis a seis.

verifique esse vídeo, clique aqui


Problema de permutação


Exemplo:


O DETRAN decidiu que as placas dos veículos do Brasil serão codificadas usando-se 3 letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que poderá ser licenciado?


Solução



Usando o raciocínio anterior, imaginemos uma placa genérica do tipo PWR-USTZ.


Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10 algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que: para a 1ª posição, temos 26 alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, e 3ª também teremos 26 alternativas. 

Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10 alternativas para cada um dos 4 lugares. 
Podemos então afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados será igual a: 

                          26.26.26.10.10.10.10 que resulta em 175.760.000

Observe que se no país existissem 175.760.001 veículos, o sistema de códigos de emplacamento teria que ser modificado, já que não existiriam números suficientes para codificar todos os veículos.